El Teorema de Norton

El teorema de Norton fue publicado por el ingeniero estadounidense Edward Lawry Norton, el cual, realizó un informe en 1926 en los laboratorios Bell, en los que trabajaba, enunciando el teorema que llevaría su nombre: el teorema de Norton. Este teorema forma parte de los teoremas fundamentales del análisis de circuitos.

Enunciado del teorema de Norton

Todo circuito lineal se puede sustituir entre dos puntos A y B del circuito, por un generador de corriente en paralelo con una resistencia entre esos dos puntos A y B.

El generador de corriente equivalente recibe el nombre de corriente Norton, mientras que a la resistencia equivalente se le llama resistencia Norton. Cabe destacar que el teorema de y el teorema de Norton son duales, o como me gusta decir, son primos hermanos. ¿por qué? Pues muy sencillo, lo único que cambia ente ellos es el tipo de generador y la conexión con la resistencia. La forma de calcular los valores del circuito es muy parecida.

• La resistencia Norton se calcula, en primer lugar desconectando los generadores independientes que hay en el circuito, y en segundo lugar, hallando la resistencia que ve el circuito desde A y B. Exactamente igual que la resistencia Thevenin. Recordad que si en el circuito hay generadores dependientes el cálculo de la resistencia Norton se realiza de otra forma, la cual podréis ver en otro artículo.
• La corriente Norton es la corriente que circula al cortocircuitar entre los terminales A y B.

Y para ilustrar todo esto, no hay nada mejor que realizar un ejercicio para explicar todo paso a paso.

Ejercicio resuelto del Teorema de Norton

Hallar el equivalente de Norton entre los puntos A y B del circuito de la figura.

El orden para calcular la resistencia Norton y la corriente Norton es indiferente, puesto que no influye en el resultado.

Cálculo de la resistencia Norton paso a paso

Para hallar el valor de la resistencia Norton, en primer lugar tenemos que desconectar los generadores independiente que hay en el circuito, por su correspondiente circuito equivalente. Para hacer ésto tendremos en cuenta que:

• Los generadores de corriente se sustituyen por un circuito abierto
• Mientras que, los generadores de tensión, se sustituyen por cortocircuitos entre sus terminales.

Al desconectar los generadores del circuito tenemos el siguiente circuito:

Como hay que hallar el valor de la resistencia vista desde A y B, vamos a comenzar a asociar y reducir el circuito por el lado contrario a los terminales A y B , por lo tanto:

Ra = R1 + R4 + R2 = 8 + 4 + 8 = 20 Ω

Después de asociar esas tres resistencia el circuito nos que así:

Y por último, para hallar la resistencia Norton que es la misma que la vista desde los terminales A y B tenemos:

Rn = (Ra*R3) / (Ra+R3)= (20*5) / (20+5) = 4 Ω

Rn = 4 Ω

Segundo paso: calcular la corriente Norton

Ahora procedemos a calcular la corriente Norton. Para ello, hay que cortocircuitar entre los terminales A y B, quedando el circuito como indica la figura.

La corriente Norton es la que circula por la rama que aparece al unir (cortocircuitar) los terminales A y B. Por lo tanto, esa es la corriente que tenemos que calcular. A partir de aquí, se pueden emplear todas las técnicas conocidas en el análisis de circuitos.

En un primer momento podemos tener la idea de plantear un sistema de tres ecuaciones, al haber tres mallas, y resolverlo para obtener la corriente Norton. No obstante, siempre es mejor realizar una inspección del circuito y ver si se puede realizar algún tipo de asociación entre elementos del mismo, o también, cambios entre generadores que nos permitan reducir el numero de mallas ya si el numero de ecuaciones necesarias para resolver el circuito.

Simplificación del circuito

En este caso, podemos cambiar el generador V1 y la R4 que están en serie, por un generador de corriente con una resistencia en paralelo. El cambio sería:

Ia = V1 / R4 = 12 / 4 = 3 A

El circuito ahora queda de la siguiente manera:

Seguidamente, se pueden asociar los generadores de corriente I1 e Ia, ya que se encuentran en paralelo, por lo tanto, aplicamos la primera ley de Kirchhoff al nudo superior de ambos generadores:

Ib = I1 + Ia = 2 + 3 = 5 A

Después de asociar los generadores, ya hemos reducido una malla del circuito.

Realizando una nueva inspección del circuito, se observa que es posible volver a realizar una conversión entre tipos de generadores. Se puede cambiar Ib y R4 por su equivalente en generador de tensión en serie con R4.

Vb = Ib * R1 = 5 * 4 = 20 V

Como resultado de este cambio, el circuito es el siguiente:

Por último, cabe destacar que la resistencia R2 ha quedado cortocircuitada entre sus terminales, debido a esto, la corriente que circulará por R2 es nula, por lo tanto, se puede anular dicha resistencia.

Planteamiento de la ecuación para hallar la corriente de Norton

Finalmente, hemos conseguido reducir el circuito a una sola malla, por lo tanto, con una sola ecuación podemos hallar el valor de la corriente Norton. Si recorremos la malla en sentido horario y comienzo el recorrido en el terminal negativo de Vb, la ecuación de la malla es:

– Vb + In*R1 + In*R3 + In*R4 = 0

In = Vb / (R1 + R3 + R4) = 20 / (4 + 8 +8) = 1 A

In = 1 A

Circuito equivalente Norton

Una vez realizados todos las cálculos para hallar el equivalente Norton, dibujamos como queda.

Resumen final

Espero que este ejemplo resuelto paso a paso sobre el teorema de Norton os sirva para comprender como hay que resolver este tipo de ejercicios. Los pasos resumidos son:

• Desconectamos los generadores independientes
• Se sustituyen por sus circuitos equivalentes
• Calculamos la resistencia Norton
• A continuación , unimos mediante un cable (cortocircuitamos) los terminales A y B
• Reducimos el circuito siempre que sea posible
• Planteamos las ecuaciones necesarias para hallar la corriente de Norton
• Planteamos el circuito obtenido al aplicar el teorema de Norton

Ejercicios relacionados con el teorema de Norton

Si quieres, puedes ver ejercicios del teorema de Thevenin o de las leyes de Kirchhoff entre otros, en mi canal de Youtube.