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Las leyes de Kirchhoff

Las leyes de Kirchhoff fueron enunciadas por el físico alemán Gustav Rober Kirchhoff en el año 1846. Se trata de dos leyes muy utilizadas en ingeniería eléctrica y en ingeniería electrónica.

Como veremos, estas leyes son una herramienta muy sencilla y de gran utilidad en al análisis de circuitos sencillos y complejos.

Ambas leyes de Kirchhoff quedan encuadradas en los llamados métodos de análisis de circuitos.

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Ejercicios resueltos de las leyes de Kirchhoff

ejercicio resuelto de las leyes de Kirchhoff
Ejercicio resuelto de las leyes de Kirchhoff
leyes de Kirchhoff y ecuaciones de Maxwell
Ejercicio resuelto de las leyes de Kirchhoff y las ecuaciones de Maxwell

Primera ley de Kirchhoff o ley de las corrientes

Todas las corrientes que entran y salen de un nudo en un circuito eléctrico están relacionadas entre sí por la ley de las corrientes de Kirchhoff. Esta ley dice así:

La suma algebraica de todas las intensidades que llegan a un nudo es igual a la suma algebraica de todas las intensidades que salen del nudo. Se consideran todas ellas en el mismo instante de tiempo.

Σ corrientes entrantes = Σ corrientes salientes

La primera ley de Kirchhoff también se puede aplicar de otra forma, adoptando el convenio de signos siguiente:

  • Se considerarán positivas todas las corrientes entrantes al nudo.
  • Serán negativas las corrientes salientes del nudo.

Por lo que la formula quedaría así:

Σ I = 0

Ejemplo resuelto de la primera ley de Kirchhoff

A continuación, en el siguiente ejemplo práctico, vamos a ver una aplicación sencilla de la primera ley de Kirchhoff o ley de las corrientes.

Supongamos que la figura 1 es un nudo que pertenece a un circuito más complejo, del cual hemos extraído solo esa parte.

primera ley de kirchhoff
Figura 1

De la figura anterior, al aplicar la primera ley de Kirchhoff al nudo nos queda la siguiente ecuación:

Σ corrientes entrantes = Σ corrientes salientes

i1 + i3 + i5 + i6 = i2 + i4 + i7

O también podríamos expresarlo así, teniendo en cuenta el convenio de signos explicado anteriormente:

Σ I = 0

i1 + i3 + i5 + i6 – i2 – i4 – i7 = 0

Como se puede apreciar, cualquiera de las dos formas de plantear la ecuación, son validas y equivalentes.

En el siguiente vídeo puedes ver un ejemplo de la primera ley de Kirchhoff. Tienes más vídeos en mi canal de Youtube.

PRIMERA LEY DE kIRCHHOFF
Vídeo de ejercicio resuelto de la primera ley de Kirchhoff

Segunda ley de Kirchhoff o ley de las tensiones

La f.e.m. (fuerza electromotriz) total que actúa en un circuito, se consume en las caídas de tensión producidas en los diferentes elementos de un circuito eléctrico. Estas caídas y la f.e.m. aportada se relacionan mediante la segunda ley de Kirchhoff:

En toda malla o circuito cerrado, la suma algebraica de las f.e.m. debe ser igual a la suma algebraica de todas las caídas de tensión en los elementos del circuito que hay en dicha malla o circuito cerrado.

La expresión algebraica de dicha definición es:

Σ V = Σ R * I

Otra manera de plantear esta segunda ley de Kirchhoff es:

Σ Vmalla = 0

Cabe aclarar, que la f.e.m. es producida por una fuente de tensión, la cual, puede generarla con alguno de los métodos existentes: químico, magnetoelectrico, solar,etc.

La caída de tensión o diferencia de potencial es la que aparece en los elementos pasivos cuando una corriente los atraviesa.

Ejemplo resuelto de la segunda ley de Kirchhoff

Vamos a aplicar la segunda ley de Kirchhoff al circuito de la figura. Para ello, realizaremos el sumatorio de tensiones de la malla de la figura 2, siguiendo el recorrido A-B-C-D en la dirección de la corriente «I».

segunda ley de kirchhoff
Figura 2

La segunda ley de Kirchhoff dice que: Σ Vmalla = 0 , por lo tanto

(R4 * I) + (R2 * I) + V3 – V2 + (R1 * I) + (R3 * I) – V1 = 0

En este vídeo tienes disponible un ejercicios resuelto sobre la segunda ley de Kirchhoff. Puedes ver otros ejemplos en el siguiente enlace.

segunda ley de Kirchhoff
Vídeo del ejercicio resuelto de la segunda ley de Kirchhoff

Convenio de signos al aplicar las leyes de Kirchhoff

Para aplicar correctamente las leyes de Kirchhoff en la resolución de circuitos eléctricos y electrónicos es necesario establecer un convenio de signos para aplicarlo.

Existen varios criterios, en función de los libros que se consulten.En este sitio web vamos a utilizar el siguiente, que es el más usado por la mayoría de los autores de libros técnicos.

Criterio de signos en los generadores al aplicar las leyes de kirchhoff

La polaridad de la tensión en los generadores viene indicada por su símbolo. En cuanto a la corriente, tomaremos que la misma atraviesa el generador desde el terminal «-» hacia el terminal «+», como vemos en la imagen:

criterio de signos en las leyes de kirchhoff
Figura 3

Criterio de signos en los elementos pasivos

En cuanto a los elementos pasivos, es decir, resistencias, condensadores y bobinas, el terminal positivo de la caída de tensión será aquel por el cual, «entre la corriente» en su recorrido.

En la imagen se puede observar lo explicado en el párrafo anterior:

signos en leyes de kirchhoff
Figura 4

Definiciones útiles al aplicar las leyes de Kirchhoff

A continuación os vamos de mostrar una serie de definiciones referentes a los elementos de los circuitos eléctricos. Es necesario conocerlas y familiarizarse con ellas, para así entender correctamente las explicaciones aquí dadas, así como, en cualquier libro que podáis consultar.

Para ayudar a entender lo que os explicamos a continuación os mostramos esta figura:

mallas leyes de kirchhoff
Figura 5
  • Elementos pasivos: son aquellos que almacenan o absorben la energía aportada al circuito por los generadores. Los elementos pasivos son las resistencias, las bobinas y los condensadores.
  • Elementos activos: son los generadores de tensión o de corriente, los cuales suministran la energía al circuito. Cuando la energía aportada por ellos no se altera por cambios en el circuito, se llaman generadores independientes. En cambio, cuando la tensión o la corriente aportada por los generadores, puede cambiar debido a cambios en el circuito, esos generadores se llaman generadores dependientes.
  • Nodos: puntos de un circuito en los cuales concurren dos o más conductores. En la figura 5, los nodos son los puntos llamados A, B, C y D.
  • Rama: conjunto de todos los elementos que hay entre dos nudos de un circuito eléctrico. En la figura 5 tenemos seis ramas: ab, ac, ad, bc, bd y cd. Podríamos decir que cada rama es cada uno de los caminos por los cuales se puede ir desde un nodo a otro.
  • Malla: es el conjunto de ramas que forman un contorno cerrado en un circuito eléctrico. Una malla, debe contener como mínimo dos ramas. En la figura 5 tenemos tres mallas: abca, acda, bcdb.
  • Contorno: conjunto de elementos que forman un camino cerrado en un circuito eléctrico y que se puede dividir en mallas. En la figura 5 tenemos los siguientes contornos:
    • abcda
    • abda
    • acdba
    • acbda
  • Circuito equivalente: circuito resultante que queda,al aplicar sobre un circuito mas o menos complejo métodos de análisis de circuitos para conseguir reducir éste. El circuito resultante será más sencillo para analizar y conservará las condiciones generales del circuito original.

Planteamiento para resolver problemas con las leyes de Kirchhoff

Para aplicar las leyes de Kirchhoff en la resolución de circuitos eléctricos, vamos a seguir los siguientes pasos:

Paso 1: dibujar el circuito

Dibujaremos el circuito con todos sus elementos y sus correspondientes valores, asignando una letra y un subíndice a cada elemento del mismo.

Figura 6

Paso 2: indicar las corrientes de rama

A continuación dibujamos todas las corrientes de rama, a las cuales, les asignaremos un sentido al azar, tal y como muestra la figura 7. Eso si, durante la realización de todas las operaciones, ese sentido escogido, no puede cambiarse. Asimismo, designaremos con una letra, cada uno de los nudos existentes en el circuito.

Figura 7

Paso 3: aplicar la primera ley de Kirchhoff

Hay que aplicar la ley de las corrientes de Kirchhoff a tantos nudos tenga el circuito menos uno, es decir:

Numero de ecuaciones = m = n – 1

En el caso del ejemplo de la figura 7 las ecuaciones son:

m = 2 – 1 = 1 nudo

Debemos plantear las ecuaciones en uno de los nudos. Da igual en cual de los dos lo hagamos. Tomaremos el nudo «A». Asi que , la ecuacion resultante al aplicar la primera ley de Kirchhoff al nudo A es:

Σ corrientes entrantes = Σ corrientes salientes

I1 = I2 + I3

Paso 4: plantear la segunda ley de Kirchhoff

El siguiente paso, es plantear la segunda ley de Kirchhoff o ley de las tensiones a tantas mallas como ramas tenga el circuito menos (n – 1), es decir:

Número de ecuaciones = q = r – (n – 1)

En este caso queda así:

q = 3 – ( 2 – 1) = 2 ecuaciones

Para aplicar la segunda ley de Kirchhoff hay que establecer previamente el sentido en el que vamos a recorrer cada malla, tal y como muestra la figura 8.

Figura 8

Como se puede observar, la malla va a ser recorrida en sentido horario. Las ecuaciones al aplicar la segunda ley de Kirchhoff son las siguientes:

Malla de la izquierda: -V1 + I1 * R1 + I2 * R3 = 0

Malla de la derecha: – I2 * R3 + I3 * R2 + V2 = 0

Tenemos que tener en cuenta que cuando recorremos la malla realizando el sumatorio de tensiones, el signo que le asignamos a cada tensión depende del terminal de dicha tensión por el cual pasemos primero. Por lo tanto, en la malla de la izquierda, cuando pasamos por V1, el primer terminal que «atravesamos» es el terminal «-«, debido a esto, en la ecuación lleva un signo negativo.

Cuando llegamos a R1, la caída de tensión en esa resistencia la «atravesamos» en primer lugar por el terminal positivo de dicha caída de tensión, por ello, esa caída de tensión lleva un signo positivo en la ecuación.

Paso 5: Resolver las ecuaciones planteadas con las leyes de Kirchhoff

El número de total de ecuaciones es N = q + m. En el ejemplo descrito, N = 2 + 1 = 3 ecuaciones. Para resolver las ecuaciones se pueden plantear cualquier método de resolución de sistemas de ecuaciones.

Una vez resuelto, tenemos que tener en cuentas que las intensidades que nos den un valor positivo, tiene el sentido real escogido en el circuito. Las intensidades que nos den negativas, significa que el sentido real de las mismas es contrario al asignado al azar al principio.

Ejercicio resuelto de las leyes de Kirchhoff

Ecuaciones de las mallas o de Maxwell

El científico James Clerk Maxwell, estableció un método basado en las leyes de Kirchhoff, con el cual, se podían resolver circuitos eléctricos planteando un menor número de ecuaciones.

Este método se basa en plantear las ecuaciones mediante intensidades ficticias que se supone que recorren las mallas. Como consecuencia de ésto, sólo es necesario plantear un número de ecuaciones igual al número de mallas, es decir, r – (n – 1).

Ejemplo planteando las ecuaciones de Maxwell.

En la figura 9 indicamos las corrientes de malla de Maxwell, a las cuales denominamos Ia e Ib.

Figura 9

Planteamos las ecuaciones: N = r – (n – 1) = 3 – (2 – 1) = 2 ecuaciones

Malla de la izquierda (Ia) = – V1 + Ia * R1 + Ia * R3 – Ib * R3 = 0

Malla de la derecha (Ib) = + Ib * R3 + Ib * R2 + V2 – Ia * R3 = 0

En este caso, para resolver el circuito, tan solo necesitamos dos ecuaciones. Por consiguiente, la resolución del problema es más sencilla.

La única duda que puede surgir ahora es saber el valor de la corriente que circula por la rama del medio, la de R3 ( la que llamamos I2 en la figura 7) . Si queremos saber esa corriente tomando que ve en el sentido desde el nudo A hasta el nudo B, esa corriente sería Ia – Ib. Igualmente, si tomamos el sentido de esa corriente desde B hasta A, su valor sería Ib – Ia.

Por lo tanto, la equivalencia entre las corrientes de rama (figura 7) y las corrientes de malla (figura 9) es:

I1 = Ia

I2 = Ia – Ib

I3 = Ib

leyes de Kirchhoff y ecuaciones de Maxwell
Vídeo del ejercicio resuelto de las leyes de Kirchhoff y las ecuaciones de Maxwell

Pasos para resolver aplicando ecuaciones malla de Maxwell

Para resolver los circuitos eléctricos aplicando las ecuaciones de malla de Maxwell, seguiremos un procedimiento similar a cuando planteamos las leyes de Kirchhoff:

  • Paso 1: dibujar el circuito con todos sus elementos
  • Paso 2: Dibujar las intensidades de malla, asignándolas un sentido cualquiera al azar. Ese sentido, no se puede cambiar a lo largo de la resolución.
  • Paso 3: Establecer un recorrido para plantear las ecuaciones de Maxwell. Ese sentido también es indiferente, solo importa que respetemos los signos de las tensiones de la malla.
  • Paso 4: Resolver las ecuaciones planteadas por uno de los métodos conocidos.
  • Paso 5: Obtener las corrientes de rama (si fuese necesario) a partir de las corrientes de malla calculadas.

Leyes de Kirchhoff vs ecuaciones de Maxwell

No hay una regla general para saber que debemos aplicar en cada caso. En el análisis de circuitos, la practica y la experiencia en la resolución de circuitos eléctricos son muy importantes. A medida que avancemos en la resolución de los mismos, iremos viendo que métodos de resolución hay que elegir en cada caso.